บทที่1

บทที่1

เซตอันดับ

                เซตอันดับ(order set )สามารถแบ่งเซตอันดับออกเป็น  เซตอันดับบางส่วน  เซตอันดับทั้งหมดหรือเซตอันดับเชิงเส้น  และเซตอันดับดี ดังนี้

1.1เซตอันดับบางส่วน บทนิยาม 1.1.1 ให้ r เป็นความสัมพันธ์ในเซต A , r เป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตร(antisymmetric) ใน     เซต A ก็ต่อเมื่อ  ถ้า   
หมายเหตุ  จะได้ข้อความที่สมมูลกับบทนิยาม  1.1 คือกำหนดให้  r  เป็นความสัมพันธ์ในเซต  A  r           ไม่เป็นความสัมพันธ์ปฏิสมมาตรก็ต่อเมื่อมี

บทนิยาม  1.1.2ให้ r เป็นความสัมพันธ์ในเซต  A  r เป็นความสัมพันธ์อันดับบางส่วน

                (partial  order)ในเซต  A ก็ต่อเมื่อ r  เป็นความสัมพันธ์สะท้อน  ปฏิสมมาตรและถ่ายทอด

                จากบทนิยาม  1.2  r เป็นความสัมพันธ์อันดับบางส่วนในเซต A ก็ต่อเมื่อ

บทนิยาม 1.1.3 ให้ r เป็นอันดับบางส่วนใน X เรียก X ว่า เซตอันดับบางส่วน (partial order set) โดยความสัมพันธ์ r

1.2 เซตอันดับเชิงเส้น

บทนิยาม 1.2.1  r เป็นความสัมพันธ์อันดับเชิงเส้น (linear order) ในเซต X ก็ต่อเมื่อ r เป็นอันดับ               บางส่วนในเซต X และสำหรับ a,b  ใดๆใน X จะได้ (a,b) หรือ

บทนิยาม 1.2.2 ให้ r เป็นอันดับเชิงเส้นในเซต X เรียก X ว่าเซตอันดับเชิงเส้น (linearly ordered set)         โดยความสัมพันธ์ r

หมายเหตุ  (1) อาจเขียน (X,r) เป็นเซตอันดับเชิงเส้น  หมายถึง X ว่าเซตอันดับเชิงเส้น  โดย      ความสัมพันธ์ r หรืออาจเขียน X เป็นเซตอันดับเชิงเส้น  หมายถึง X ว่าเซตอันดับเชิงเส้น                 โดยความสัมพันธ์ใดสัมพันธ์หนึ่งที่เป็นเซตอันดับเชิงเส้นใน X

                (2) เซตอันดับเชิงเส้นอาจเรียกว่า เชตอันดับทุกส่วน (totally order set)

บทนิยาม 1.2.3 ให้  เป็นเซตอันดับบางส่วนจะได้ว่า

                (1.) a เป็นสมาชิกแรกของ X ก็ต่อเมื่อ  ซึ่ง

                (2.) b เป็นสมาชิกสุดท้ายของ X ก็ต่อเมื่อ ซึ่ง

1.4 เซตอันดับคล้าย

บทนิยาม 1.4.1 ให้ (A,r)  และ (B,s) เป็นอันดับบางส่วนเรียก f ว่าเป็นฟังก์ชันสมสัณฐานจาก A ไป B ก็ต่อเมื่อ

(1)      

(2)       (x,y) X, y   ว่า f มีสมบัติคงสภาพ

บทนิยาม 1.4.2 ให้ (A,r)และ (B,s) เป็นอันดับบางส่ วน (A,r) แ ละ (B,s) เป็นเซตอันดับคล้าย ก็ต่อเมื่อ

                มี f เป็นฟังก์ชันสมสัณฐานจาก A ไป B และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ (A,r)  (B,s)

หมายเหตุ (A,r)  (B,s)อาจเขียนแทนสัญลักษณ์A  Bโดยละ r และ ในเซต A และ B ตามลำดับและ

                เขียน (A,r)  (B,s) แทน A และ B ไม่เป็นเซตอันดับคล้าย

บทที่ 2

จำนวนเชิงการนับ

                จำนวนที่เป็นตัวแทนของเซตที่จะใช้บอกปริมาณสมาชิกเซต  โดยอาศัยการจับคู่  กับจำนวนเต็มบวกนี้จะกล่าวถึง  จำนวนที่ใช้เรียกเป็นตัวแทนของกลุ่มเซตต่างๆ ทั้งที่เป็นเซตนับได้และเซตนับไม่ได้  โดยกำหนดจำนวนขึ้นมาใหม่  เรียกจำนวนเชิงการนับ (cardinal number) จะกล่าวถึงการบวก  การคูณจำนวนเชิงการนับ  และศึกษาถึงสมบัติต่างๆของเนื้อหาเหล่านี้

2.1 ทฤษฏีบท เซรอเดอร์-เบริ์นไตน์ (Schroder – Bernstein theorem)

                ในการแสดงว่า f : A      B โดยที่ A และ B เป็นเซตอนันท์ทำได้ไม่ง่ายนัก เมื่อต้องการแสดงว่า A-B ทฤษฏีบทเวรอเดอร์ – เบริ์นสไตน์ จะช่วยให้แสดงว่า A – B ได้ง่ายขึ้น โดยการแสดงว่ามีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก A ไป B และมีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง จาก B  ไป A

ทฤษฏีบท  2.1.1 ถ้า  X₁    Y    X  และ  X  X₁ แล้ว X  Y